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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
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\input{wang-slides-preamble.tex}

\begin{document}

\title{高等代数二}
\subtitle{7-3-线性变换和矩阵 }
%\institute{上海立信会计金融学院}
%\author{王立庆}
\author{{\ppr LQW}}
\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
%\date{{\ppr 2023年3月9日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{7.3.i. 作业：星期天晚上十点半之前在网络教学平台提交 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item   整理课堂笔记，补充没写完的计算或证明。
\item   习题(7.3)\#1,2,4,6, 抄写题目。
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.3.ii. 目录 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item[7.3.1.] 线性变换的矩阵的定义
\item[7.3.2.] 线性变换的矩阵的例子1
\item[7.3.3.] 线性变换的矩阵的例子2
\item[7.3.4.] 定理7.3.1. 线性变换的矩阵与向量的坐标
\item[7.3.5.] 定理7.3.1. 的例子
\item[7.3.6.] 引理7.3.1. 如何定义一个线性变换
\item[7.3.7.] 定理7.3.2. 线性代数基本定理
\item[7.3.8.] 推论7.3.1. 线性变换的逆变换的矩阵
\item[7.3.9.] 线性变换关于两个基的两个矩阵
\item[7.3.10.] 矩阵的相似关系是一种等价关系
\item[7.3.11.] 相似矩阵的基本性质

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{7.3.iii. 课堂讲解重点 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  线性变换的矩阵的定义
\item  线性代数基本定理
\item  线性变换关于两个基的两个矩阵

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.3.1. 线性变换的矩阵的定义}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间。线性变换 $\sigma:V\to V$ 关于一个基 $\Phi=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 的矩阵是 $A$，指的是什么？
}

\item 解答：指的是矩阵 $A$ 使等式 $\sigma(\Phi)=\Phi\cdot A$ 成立。写详细就是
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
(\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \cdots, \sigma(\alpha_n) ) =
(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n )
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ 
\vdots & \vdots &  & \vdots \\ 
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\   \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}

\item 注释：
\begin{enumerate}
\item 给定一个基，从一个线性变换就可以唯一确定一个矩阵。
\item 线性变换将这个基的$n$个向量变成了哪些向量，就是这个矩阵要描述的。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.3.2. 例子1：线性变换的矩阵}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V=\mathbb{R}^2$, 设线性变换是逆时针旋转一个固定的角度 $\theta$. 写出这个线性变换关于标准基的矩阵。} 

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  标准基是指 $\mathcal{E}=\{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}$. 

\item  设 $\sigma: V\to V$ 将每个向量逆时针旋转 $\theta$ 角度。

\item  由平面几何可知，$\sigma(e_1)=(\cos\theta,\sin\theta)$, $\sigma(e_2)=(-\sin\theta,\cos\theta)$. 

\item  因此我们有下述等式，
\vspace{-0.2cm}
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
(\sigma(e_1), \sigma(e_2) ) = (e_1, e_2) \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta   \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}
\vspace{-0.2cm}
\item  等式右边的这个矩阵就是线性变换 $\sigma$ 关于标准基 $\mathcal{E}$ 的矩阵。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.3.3. 例子2}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维的向量空间，设 $k\in F$, 记 $\sigma=k\iota:V\to V$ 是位似变换，其中 $\iota$ 是恒等变换。设 $\Phi=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 是 $V$ 的一个基。求 $\sigma$ 关于 $\Phi$ 的矩阵。
}

\item 解答：按照线性变换关于一个基的矩阵的定义，写出下述等式
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
(\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \cdots, \sigma(\alpha_n) ) =
(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n )
\begin{pmatrix} k & 0 & \cdots & 0 \\ 
0 & k & \cdots & 0 \\ 
\vdots & \vdots &  & \vdots \\ 
0 & 0 & \cdots & k \\   \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}
于是线性变换 $\sigma$ 关于 $\Phi$ 的矩阵为数量矩阵 $kE_n$, 其中 $E_n$ 为单位矩阵。


\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.3.4. 定理7.3.1.}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维的向量空间。\\ 
(1)设线性变换 $\sigma:V\to V$ 关于基 $\Phi=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 的矩阵是 $A$. \\ 
(2)设向量 $\xi\in V$ 关于这个基 $\Phi$ 的坐标是 ${\bf x} = (x_1,\cdots,x_n)$. \\ 
求向量 $\sigma(\xi)$ 关于这个基 $\Phi$ 的坐标。} 

\item 解答：
\begin{enumerate}
\item  由条件(1)可知 $\sigma(\Phi)=\Phi\cdot A$, 
\item  由条件(2)可知 $\xi=\Phi\cdot {\bf x}^t$. 
\item  设向量 $\sigma(\xi)$ 关于这个基的坐标是 ${\bf y}$, 则有 $\sigma(\xi)=\Phi\cdot {\bf y}^t$. 
\item  在 (2) 所得式子两边同时作用 $\sigma$, 得到 $\sigma(\xi) = \sigma(\Phi\cdot {\bf x}^t)$. 
\item  因为 $\sigma$ 保持线性运算，所以得到 $\sigma(\xi) = \sigma(\Phi) \cdot {\bf x}^t$. 
\item  再使用 (1) 所得式子，可得 $\sigma(\xi) = (\Phi\cdot A) \cdot {\bf x}^t$. 
\item  根据结合律，可得 $\sigma(\xi) = \Phi\cdot (A\cdot {\bf x}^t)$. 
\item  与 (3) 比较，因为 $\Phi$ 是一个线性无关的向量组，所以 ${\bf y}^t = A\cdot {\bf x}^t$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.3.5. 定理7.3.1.的例子 } % \hfill \url{juniata.edu}}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}问题：举例说明定理7.3.1. } %\hfill (bing: rotate angles coordinate)

\item 解答：再看例子1，$\sigma(\xi)$ 的坐标 $(x{\,}',y{\,}')$ 与 $\xi$ 的坐标 $(x,y)$ 之间的关系由一个矩阵确定。

\begin{center}
\includegraphics[height=0.6\textheight,width=0.8\textwidth]{pic/rotate-coordinate-example-2.png}
\end{center}


\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.3.6. 引理7.3.1.}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}问题：设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维的向量空间。设 $\Phi=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 是 $V$ 的一个基。设 $\{\beta_1,\cdots,\beta_n\}$ 是 $V$ 中的任意 $n$ 个向量。
那么一定存在一个线性变换 $\sigma:V\to V$, 使得 $\sigma(\alpha_i)=\beta_i$ 对 $i=1,2,\cdots,n$ 都成立。
}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item 这个引理的结论是要证明某个线性变换的{\color{blue}存在性}。
\item 分两步定义这个变换，首先对每个 $i=1,2,\cdots,n$, 定义 $\sigma(\alpha_i)=\beta_i$. 
\item 其次对任意 $\xi\in V$, 要定义 $\sigma(\xi)$ 是什么。
将 $\xi$ 写成 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 的线性组合，我们有唯一的写法
$\xi = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n$.
于是定义 
\vspace{-0.2cm}
$$\sigma(\xi) =k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \cdots + k_n\beta_n. $$
\item 最后我们要证明这样定义的 $\sigma$ 保持线性运算。即要验证
\vspace{-0.2cm}
$$\sigma(m_1\xi_1+m_2\xi_2) = m_1\sigma(\xi_1)+m_2\sigma(\xi_2). $$

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.3.7. 定理7.3.2.（线性代数基本定理）}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定理：数域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 上的线性变换全体组成的代数，与数域 $F$ 上的 $n$ 阶矩阵全体组成的代数，在取定 $V$ 的一个基之后，是同构的。用数学符号表示，就是 $L(V)\cong M_n(F)$. 
}

%\item 名词解释：{\color{red}什么是代数？} 回答：是一个向量空间，并且向量之间还有乘法，符合一些公理。
%这里分别是线性变换的复合与矩阵的乘法。

\item 证明：一个代数是一个向量空间，向量之间还有乘法，符合一些公理。
\begin{enumerate}
\item  首先建立两个集合之间的双射 \( L(V) \leftrightarrow M_n(F) \), 然后证明它保持代数结构。
\item  取定一个基，从一个线性变换可以得到一个矩阵。
\item  取定一个基，从一个矩阵出发可以定义一个线性变换。
\item  这个双射保持加法：$\sigma+\tau \leftrightarrow A+B$.
\item  这个双射保持数乘：$k\sigma \leftrightarrow kA$.
\item  这个双射保持乘法：$\sigma\circ\tau \leftrightarrow AB$.
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.3.8. 推论7.3.1.}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定理：设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维的向量空间，设线性变换 $\sigma:V\to V$ 关于一个基 $\Phi=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 的矩阵是 $A$. 那么 $\sigma$ 是可逆变换当且仅当 $A$ 是可逆矩阵，此时 $\sigma^{-1}$ 关于这个基的矩阵就是 $A^{-1}$. 
}

\item 证明：证当且仅当的一个方面。
\begin{enumerate}
\item  因为 $\sigma$ 关于基 $\Phi$ 的矩阵是 $A$,  所以 $\sigma(\Phi)=\Phi\cdot A$.
\item  {\color{blue}设 $\sigma$ 是可逆变换}。所以 $\sigma$ 是双射，所以存在逆变换 $\sigma^{-1}$. 
\item  记 $\sigma^{-1}$ 关于基 $\Phi$ 的矩阵是 $B$,  所以 $\sigma^{-1}(\Phi)=\Phi\cdot B$.
\item  在上式两边同时作用 $\sigma$, 根据线性，可得 $\Phi = \sigma(\Phi)\cdot B$.
\item  代入 $\sigma(\Phi)=\Phi\cdot A$ 可得 $\Phi = \Phi\cdot A\cdot B$.
\item  因为 $\Phi$ 是线性无关的向量组，所以 $E_n=AB$. 
\item  {\color{blue}这样就证明了 $A$ 是可逆阵}，并且 $\sigma^{-1}$ 关于这个基的矩阵就是 $A^{-1}$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.3.9. 线性变换关于两个基的两个矩阵}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维的向量空间。设有线性变换 $\sigma\in L(V)$. \\ 
(1)设 $\sigma$ 关于一个基 $\Phi=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 的矩阵是 $A$.  \\ 
(2)设 $\sigma$ 关于另一个基 $\Psi =\{\beta_1,\cdots,\beta_n\}$ 的矩阵是 $B$.  \\ 
(3)设从基 $\Phi$ 到基 $\Psi$ 的过渡矩阵是 $T$. \\ 
那么一定有 $B=T^{\,\,-1}AT$. 
}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item 由 (1) 知 $\sigma(\Phi) = \Phi\cdot A$.
\item 由 (2) 知 $\sigma(\Psi) = \Psi\cdot B$.
\item 由 (3) 知 $\Phi\cdot T = \Psi$. 两边同时作用 $\sigma$, 根据线性，可得 $\sigma(\Phi)\cdot T = \sigma(\Psi)$. 
\item 将 (1)(2) 两个式子代入上式，可得 $\Phi\cdot A\cdot T =  \Psi\cdot B$. 
\item 将 $\Phi\cdot T = \Psi$ 代入上式，可得  $\Phi\cdot A\cdot T =  \Phi\cdot T\cdot B$. 于是得 $AT=TB$.

\end{enumerate}

\item  注：这时我们称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 之间是相似的。

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.3.10. 矩阵的相似关系是一种等价关系}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}设 $F$ 是一个数域。考虑集合 $\mathcal{M}=M_n(F)$, 即元素在 $F$ 中的 $n$ 阶矩阵全体组成的集合。设 $A\sim B$ 是 $\mathcal{M}$ 中的相似关系。那么下述三条成立：} 
\begin{enumerate}
\item  {\color{red} 对任意 $A\in \mathcal{M}$, 都有 $A\sim A$. } 
\item  {\color{red} 对任意 $A,B\in \mathcal{M}$, 都有：如果 $A\sim B$, 那么 $B\sim A$. }
\item  {\color{red} 对任意 $A,B,C\in \mathcal{M}$, 都有：如果 $A\sim B$ 以及 $B\sim C$, 那么 $A\sim C$. } 
\end{enumerate}

\item 证明：矩阵 $A$ 与 $B$ 相似是指存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P{\,}^{-1}AP=B$. 
\begin{enumerate}
\item  取 $P=E_n$, 即得 $A$ 总是与 $A$ 本身相似。
\item  若 $P{\,}^{-1}AP=B$, 则 $PBP{\,}^{-1}=A$.
\item  若 $P{\,}^{-1}AP=B$ 且 $Q{\,}^{-1}BQ=C$, 则 $Q{\,}^{-1}P{\,}^{-1}APQ=C$, 即
\vspace{-0.2cm}
$$(PQ)^{-1}A(PQ)=C.$$
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.3.11. 相似矩阵的性质}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}求证：设 $A,B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，设 $T$ 是 $n$ 阶可逆矩阵。那么有 }
\begin{enumerate}
\item  {\color{red} $T^{\,\,-1}(A+B)T=T^{\,\,-1}AT+T^{\,\,-1}BT$. } 
\item  {\color{red} $(T^{\,\,-1}AT)^m=T^{\,\,-1}A^mT$. } 
\item  {\color{red} $\det(T^{\,\,-1}AT)=\det(A)$. } 
\end{enumerate}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item  由矩阵的加法与乘法的分配律可得。
\item  由矩阵乘法的结合律可得 
\vspace{-0.2cm}
$$(T^{\,\,-1}AT)^m=(T^{\,\,-1}AT)(T^{\,\,-1}AT)\cdots (T^{\,\,-1}AT) = T^{\,\,-1}A^mT.$$

\item  由行列式乘积公式，可得
\vspace{-0.2cm}
\begin{align*}
\det(T{\,}^{-1}AT) &= \det(T{\,}^{-1})\det(A)\det(T), \\ 
\det(T{\,}^{-1})\det(T) &= \det(T{\,}^{-1}T) = \det(E_n)=1. 
\end{align*}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{习题(7.3)\#1 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：记 $F_n[x]$ 表示一切次数不大于 $n$ 的多项式连同零多项式组成的向量空间。设 $\sigma(f(x))=f\,'(x)$. 求 $\sigma$ 关于以下两个基的矩阵。} 
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}$\{1,x,x^2,\cdots,x^n\}$. } 
\item  {\color{red}$\{1,x-c, \frac{(x-c)^2}{2!},\cdots, \frac{(x-c)^n}{n!}\}, \, c\in F$. }
\end{enumerate}

\item  思路：线性变换关于一个基的矩阵的定义。先写出 $n=4$ 的情形。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{习题(7.3)\#2 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设线性变换 $\sigma\in L(F{\,}^3)$ 关于基 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 的矩阵是
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 15&-11&5 \\ 20&-15&8 \\ 8&-7&6 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}}

\vspace{-0.5cm}

\begin{enumerate}
\item  {\color{red} 求 $\sigma$ 关于基  
{\footnotesize
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\beta_1 &=& 2\alpha_1 + 3\alpha_2 + \alpha_3, \\
\beta_2 &=& 3\alpha_1 + 4\alpha_2 + \alpha_3, \\
\beta_3 &=& \alpha_1 + 2\alpha_2 + 2\alpha_3. \\
\end{array} \right.
$%\end{eqnarray*}
} 的矩阵。}

\item  {\color{red}设 $\xi=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3$. 求 $\sigma(\xi)$ 关于基 $\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\}$ 的坐标。 }
\end{enumerate}

\item  思路：线性变换关于一个基的矩阵的定义。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{习题(7.3)\#4 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $A,B$ 是 $n$ 阶矩阵且 $A$ 可逆。证明 $AB$ 与 $BA$ 相似。} 

\item  思路：两个矩阵相似的定义。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{习题(7.3)\#6 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间。设 $\sigma\in L(V)$ 是$V$ 到自身的线性变换。证明下述条件等价：} 
\begin{enumerate}
\item[(i)]  {\color{red} $\sigma$ 是一个位似变换。} 
\item[(ii)]  {\color{red} $\sigma$ 关于任意基的矩阵都相等。} 
\end{enumerate}

\item  思路：
\begin{enumerate}
\item  (i)$\Rightarrow$(ii)  直接写出位似变换关于任意一个基的矩阵。
\item  (ii)$\Rightarrow$(i)  线性变换关于两个基的矩阵是相似的。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}










